微分算子及其离散化3：旋度

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3 旋度 curl

三维空间旋度算子（或写作curl）

作用于三维向量函数：

因此三维旋度算子作用在三维向量函数（三维向量场），输出向量场。

从物理意义直观理解旋度。

图中的两个向量场是三维向量场在xy平面上的切面，示意如下（红色为切面）：

两个场是有“涡旋”的，并且旋转的方向相反。

切面在xy平面上，因此考虑相对于z轴的旋转。我们规定以右手定则为准，因此左侧为正旋（旋度大于零），右侧为负旋（旋度小于零）。

这就是对三维向量场某个切面上旋度的定性理解，接下来是定量推导。

在三维场中取任意一个平行于坐标轴的长方体区域，假设网格xyz各方向的网格间距分别为𝛿𝑥,𝛿𝑦,𝛿𝑧：

我们先考虑绕z轴的“旋转量”。因此我们只需要看前后、左右四个面上的总旋转量。俯视图如下：

首先看前后两面。取前后面的中心点位置的值，只有平行于x轴的分量对绕z轴旋转有贡献，因此只取x分量。假设前面中点位置为(x,y,z)，前、后面中点取值如下图：

注意我们以右手法则定义旋转的正方向，因此后面的值为负（类比散度的流入流出量与坐标正方向的关系）。如下图中蓝色为正向流动，红色为负向流动：

如果区域足够小，我们就认为面的中心点数据等于该面其他点。前后面的面积为，则整个前面的旋转量近似为：

整个后面的旋转量近似为：

因此前面和后面的总旋转量为：

接下来考虑左右两面。假设坐面中点位置为(x,y,z)：

整个右面的旋转量近似为：

整个左面的旋转量近似为：

因此左面和右面的总旋转量为

把前、后、左、右四个面上所有的绕z轴的的旋转量加起来（公式（1）和（2）），得到绕z轴总的旋转量：

等价于：

我们以这个量近似整个区域中绕z轴的旋转量。整个区域的体积为，若区域足够小，我们认为区域中每个点绕z轴的旋转量相等。以平均值来近似任意点绕z轴的旋转量，公式（3）除以体积：

整理成左右两项：

左右两项都是经典的有限差分形式，对和取极限：

得到：

正是旋度表达式的第三项（z分量）

x分量和y分量可以同样的方式推导。

注意该方式并不是严谨的微分推导，只是以一种容易理解的离散视角来介绍旋度的物理意义。

由推导即可得到算子各个分量有限差分的格式，以中心差分的形式为例：