微分算子及其离散化2：散度

type

status

date

slug

summary

2 散度 divergence

定义

三维空间的散度算子（或写作）

可以看成 梯度算子和点乘的组合。它的作用对象是三维向量函数：

因此三维散度算子作用在三维向量函数（三维向量场），输出标量场。

二维的定义类似。

算子：

作用于二维向量函数

几何理解

从散度的物理意义来推导出散度算子的表达形式。

例如一个二维向量函数

直观来看，图中位置①的流出总量小于零，位置②的流出总量大于零，位置③的流出和流出量差不多。如何用一个标量来衡量向量场中某个位置的流出量？

这就引入了散度的概念，散度在直观上是衡量某点流出量的大小：

从左到右：流出量大于流入量，总流出量大于零，散度为正；流出量小于流入量，总流出量小于零，散度为正；流出量等于流入量，总流出量等于零，散度为零。

如果一个向量场散度处处为零，则称为无源场；否则称为有源场。有源说明场中有“产生”或者“吸收”向量的点，称为源。如下图磁场两级分别为正源和负源：

有了对散度的定性理解，接下来从定量的角度来衡量具体的散度值。

以二维向量场为例，讨论某个边长为h的方形区域的流出量（图中方框为区域边界，点为各边界中点）：

如下图，假设区域的左边界中心的坐标为(x,y)，右边界中心的坐标为(x+h,y)；同样地,假设区域的下边界中心坐标为(x,y)，上边界中心坐标为(x,y+h)。区域的总面积为.

注意我们规定横坐标从左到右为正方向，纵坐标从下到上为正方向。对于某个区域流出为正，流入为负。

讨论这个区域总流出量，只需要考虑它的上下左右四个边界的流出量。

首先考虑右边界。

向量场在有边界的取值为，其中平行于边界的分量对区域的流入流出量没有影响，因此垂直于边界的分量就代表了这个点对区域流量的贡献。

若这个区域很小，我们近似认为右边界上每个点的取值都和中点的取值一样。右边界面积（长度）为h，因此整个右边界的流出量近似为

hF_x(x+h, y)再考虑左边界。注意我们规定：向右为正，流出为正。因此右边界的取值为正，流出量也为正。而对于左边界的取值为正，则代表是流入量为正，流出量则为负。下图左图为取值为正，右图为取值为负；蓝色代表流出，红色代表流入。

因此左边界的流出量近似为

x方向上的总流出量为右边界流出量+左边界流出量：

同理，向上为正，流出为正。y方向上的总流出量为上边界流出量+下边界流出量：

整个区域的总流出量就是x方向和y方向流出量之和

这是整个区域的总流出量，我们想要衡量的是某个点的流出量。如果区域足够小，我们认为区域中每个点的流出量是相同的，因此除以整个区域的体积（面积）

等价于

这个形式其实就是x方向和y方向的有限差分之和。

区域体积（面积）无穷小时（h→0）：

正是偏导数相加的形式：

三维情况的格式类似：

至此，我们从散度的物理意义出发，由离散格式推导出了散度的微分表达形式。可以看成散度算子作用于向量函数

正是梯度算子与向量函数各分量的线性组合（点乘）：

离散化

差分格式

由上述推导过程可得到了散度算子的离散化格式。上述推导其实是向前差分的格式，可以轻易得出中心差分的格式。以二维中心差分为例：

以网格位置编码(i,j,k)的形式来表达：

分母为两倍网格间距。

这里利用了上下、左右两个相邻格子中心点的值来做差分，和各邻居的距离都是h（)。差分距离越短，拟合精度越高。所以如果用和相邻格子边界中心的值会得到更高的精度：

和相邻取值点的距离都是，则差分格式变为：

注意分母变为了一倍网格间距。

三维的差分格式同理：

空间离散格式

由上可知，差分格式求格子中心的散度时，利用格子和邻居边界的取值比邻居中心的取值精度更高。因为是中心差分，差分距离变为，误差会变为。那么在编写代码时可以直接保存网格边界的值。

以二维为例：

左侧把函数值记录在格子中心（注意是一个向量），右侧把函数值的各分量记录在格子边界中心（注意是函数值各分量，是一个标量）。

三维网格同理，以某个格子为例：

这种把向量场的各个分量交错记录在网格边界的空间离散形式，被称为交错网格（Staggered grid），或称为Marker-and-cell网格（MAC grid）。参考[1]

[1] McKee, S., Tomé, M. F., Ferreira, V. G., Cuminato, J. A., Castelo, A., Sousa, F. S., & Mangiavacchi, N. (2008). The MAC method. Computers & Fluids, 37(8), 907-930.